Математика. Материалы курса

Дифференциальное и интегральное исчисление.

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной является логическим продолжением дифференциального исчисления, где центральным понятием является понятие производной.

Сегодня мы переходим к интегральному исчислению. Основы и интегрального, и дифференциального исчисления заложили великие математики Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц.

Интегральное исчисление содержит два раздела – это неопределенный интеграл, с которого мы сегодня начнем, и определенный интеграл.

Пусть функции f(x) и F(x) связаны равенством F’(x)=f(x). В этом случае мы говорим, что функция f(x) – это производная функции F(x), а F(x) – это первообразная функции f(x).

Отсюда следует, что интегрирование является операцией обратной для дифференцирования подобно тому, как для операции сложения обратной является вычитание, для умножения – деление.

Рассмотрим пример. Пусть производная функции F(x) равна 2x, тогда в качестве функции F(x) можно выбрать разные функции F(x) – это первообразные функции y=2x. Первообразными являются функции x^2, x^2+3, x^2-1 и так далее.

Как же описать множество всех первообразных?

Рассмотрим теорему о семействе всех первообразных. Если функция F(x) является первообразной функции f(x), то семейство всех первообразных представляет собой семейство всех функций вида F(x)+c, где с - это произвольная постоянная, принимающая действительные значения.

Перейдем к доказательству этой теоремы.

Доказательство будет состоять из двух пунктов. Во-первых, мы установим, что любая функция такого вида является первообразной функции f(x), и, во-вторых, установим, что других первообразных нет.

Итак, по условию F(x) – это первообразная функции f(x), значит функции связаны известным равенством (F’(x)=f(x)).

Перейдем к первому пункту – докажем, что F(x)+c также является первообразной для любого произвольного с. Для этого найдем производную этой функции и видим – это функция f(x).

Второй пункт доказательства. Покажем, что любая первообразная функции f(x) имеет вид F(x)+c. Возьмем произвольную первообразную Ф(x). Раз это первообразная, то ее производная равна функции f(x). Рассмотрим функцию Ф(x)-F(x) и найдем ее производную. Пользуясь свойствами производной получаем – производная этой функции равна нулю. Из критерия постоянства функции, мы получаем, что эта функция постоянна, т.е. принимает действительные значения, равные некоторому числу с. Ну, и вывод – функция Ф(x) – это функция вида F(x)+c.

Теорема доказана!

Мы готовы сформулировать определение неопределенного интеграла.

Семейство всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается символом.

В этой записи, обратите внимание, f(x) мы называем подынтегральной функцией, выражение f(x) умноженное на dx (f(x)dx) – подынтегральным выражением, dx – это дифференциал переменной, ну, и сам знак интеграла - он напоминает букву S, с которого начинается слово «сумма», и является стилизованной буквой S.

Итак, если F(x) – это первообразная функции f(x), то интеграл f(x)dx равен F(x)+c, где с – это произвольная действительная постоянная.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла. Три важнейших свойства.

Первое свойство – законы поглощения. Они говорят о том, что операции интегрирования и дифференцирования (взятия дифференциала функции) являются взаимно обратными и поглощают друг друга. Эти два равенства записаны здесь.

Второе свойство – законы равносильности. Этим свойством мы будем пользоваться для доказательства того, что интеграл некоторой функции f(x) равен F(x)+c. Итак, это равенство равносильно следующим двум – посмотрите пункты 2 и 3.

И третье свойство – это свойство линейности. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов этих функций с теми же постоянными. Это свойство равносильно двум свойствам в совокупности – это свойство однородности и свойство аддитивности, которые коротко мы формулируем так. Свойство однородности – постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла. А свойство аддитивности говорит о том, что неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Как мы уже говорили интегрирование тесно связано с дифференцированием и является обратной операцией. И подобно тому, как мы записывали таблицу производных, точно так же появляется таблица интегралов, которую легко проверить с помощью дифференцирования.